Píldoras Matemáticas

Números, números especiales y números curiosos

 

Los números son, a menudo, clasificados de acuerdo a su uso (naturales para contar, racionales para fracciones, reales para medir ciertas distancias, etc.). De acuerdo a esto,  podemos clasificar los números en cinco tipos (donde cada tipo es subconjunto del siguiente):

 

• Números Naturales (N): todos los números mayores que 0 (algunos matemáticos sí lo consideran) que no incluyen ninguna parte decimal, fraccionaria ni imaginaria. Son de la forma: 1, 2, 3, 4…

• Números Enteros (Z): se considera el conjunto de los naturales, a los que se añaden sus opuestos (números negativos) y el 0. Son de la forma: …-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4…

• Números Racionales (Q): son aquellos que se pueden expresar como un cociente de dos números enteros. Son de la forma: ½, ¼, ¾…

• Números Reales (R): son todos los números que pueden encontrarse en una recta. Por tanto, contiene a los racionales y a los irracionales (aquellos que no pueden representarse mediante una fracción, como raiz de 2). Son de la forma: 1, 2, -2, -1, 0, ½, ¼, raiz(2), π, e…

• Números Complejos (C): incluyen los números reales, al que se añade el número imaginario i. La letra i denota la raiz de -1 (fue Leonhard Euler quien le dio el nombre de i, de manera despectiva, dando a entender que no tenían una existencia real). Son de la forma: 3+2i, 5i, -3i…

 

Si queremos añadir complejidad al asunto, podemos hablar de extensiones de algunos de los conjuntos anteriores. Así, podemos hablar también de:

 

• Números hipercomplejos: extensión de los complejos, construidos mediante herramientas del álgebra abstracta.

• Números hiperreales: extensión de los reales, permiten formalizar algunas operaciones con infinitésimos e infinitesimales. Se denotan por *R.

• Números superreales: extensión de los reales, generalización de los hiperreales, cuyo interés aparece en análisis no estándar, teoría de modelos y el estudio de las álgebras de Banach. Constituyen un subcuerpo de los números surreales.

• Números surreales: una clase de números que incluyen a todos los números reales, infinitos  e infinitesimales, que están más próximos a cero que cualquier número real. Todo real está rodeado de números surreales, que están más próximos de sí mismos que cualquier otro número real.

 

Si en lugar de atender a su uso, atendemos a alguna característica diferencial, podemos hablar de números especiales:

 

• Número compuesto: número natural mayor que 1 que no es primo. Ejemplos: 4, 6, 10…

• Número primo: número natural mayor que 1 cuyos únicos divisores son el 1 y él mismo. Ejemplos: 2, 3, 5...

• Números primos gemelos: dos números se denominan primos gemelos si son primos y su diferencia es 2. Ejemplos: 3 y 5, 17 y 19…

• Número omirp: número primo que al invertir sus dígitos da otro número primo. Ejemplos: 71, 1597, 7951…

• Número perfecto: número natural que es igual a la suma de sus divisores propios, excepto el propio número. Ejemplos: 6 (1+2+3), 28 (1+2+4+7+14), 496, 8128…

• Números amigos: dos números cuya suma de los divisores propios de cada uno de ellos da como resultado el otro número. Ejemplos: 220 y 284, 1184 y 1210…

• Números sociables: varios números son sociables si son números amigos, pero siendo la suma de los divisores propios del primero el segundo, la suma de los del segundo el tercero y así sucesivamente hasta que la suma de los divisores del último da el primero). Ejemplos: 12496, 14288, 15472, 14536 y 14264.

• Número poderoso: número que cumple que si un primo p es un divisor suyo entonces p^2 también lo es. Ejemplos: 36, 100, 196….

• Número curioso: número que elevado al cuadrado tiene al mismo número como última cifra. Ejemplos: 25, 36...

• Número narcisista: número de k dígitos que cumple que es igual a la suma de las potencias k de sus dígitos. Ejemplos: 1, 2, 3, 153 (1^3 + 5^3 + 3^3), 370, 371...

• Número de Fermat: número de la forma (2^(2^n))+1. Son particularmente interesantes los números de Fermat primos (por ejemplo, para n=5, no es primo). Ejemplos: 3, 5, 17, 257…

• Número de Mersenne: número de la forma 2^p-1, siendo p un número primo. Si ese número resulta ser primo se denomina primo de Mersenne. Ejemplos: 3, 7, 31…

• Número de Smith: número cuya suma de sus dígitos es igual a la suma de los dígitos de sus divisores primos contando su multiplicidad. Ejemplos: 22 (2+2=2+1+1), 27 (2+7=3+3+3), 378 (3+7+8=2+3+3+3+7)...

• Número vampiro: número para el que existe una factorización formada por los dígitos del propio número. Ejemplos: 126 (21x6), 2187 (27x81)…

 

Podemos encontrar muchas más clases de números especiales en función de sus particularidades: odioso, hambriento, malvado, etc.

 

Por último, vamos a hablar de números curiosos, aquellos que presentan varias singularidades, a veces casi mágicas, que nos sorprenden y de los que a veces es difícil de dar explicación:

 

• El número 1729: es el primer número que admite dos descomposiciones distintas como suma de cubos (1729 = 10^3+9*3 = 13^3+1^3).

• El número 142857: es un número de lo más curioso. Si lo multiplicamos por los números naturales, obtenemos los mismos dígitos y en el mismo orden, moviendo posiciones:

 

1 x 142857 = 142857

2 x 142857 = 285714

3 x 142857 = 428571

4 x 142857 = 571428

5 x 142857 = 714285

6 x 142857 = 857142

7 x 142857 = 999999

8 x 142857 = 1142856 (1+6=7, que es el dígito que falta)

9 x 142857 = 1285713 (1+3=4, que es el dígito que falta)

10 x 142857 = 142857

 

Pero además, si dividimos 7 por los números naturales, también obtenemos los mismos dígitos y en el mismo orden, moviendo posiciones):

 

1 / 7 = 0.142857

2 / 7 = 0.285714

3 / 7 = 0.428571

4 / 7 = 0.571428

5 / 7 = 0.714285

6 / 7 = 0.857142

7 / 7 = 1

8 / 7 = 1.142857

9 / 7 = 1.285714

10 / 7 = 1.142857

 

También:

 

7 x 142857 = 999999

14 x 142857 = 19999998

21 x 142857 = 29999997

28 x 142857 = 39999996

35 x 142857 = 49999995

42 x 142857 = 59999994

​

Y por último: 14 + 28 + 57 = 99, 142 + 857 = 999 y 143 x 999 = 142857

 

• El número 153: es otro número con multitud de curiosidades, si jugamos con sus descomposiciones y múltiplos. Por ejemplo, es el menor número que resulta de la suma de los cubos de sus dígitos: 153 = 1^3 + 5^3 + 3^3

 

Es igual a la suma factorial de los 5 primeros números: 153 = 1! + 2! + 3! + 4! + 5!

 

La suma de sus dígitos es un cuadrado perfecto: 1 + 5 + 3 = 9 = 3^2

 

La suma de sus divisores, es también un cuadrado perfecto: 1 + 3 + 9 + 17 + 51 = 81 = 9^2

 

Si invertimos sus dígitos y sumamos ambos números, se cumple que su cuadrado es el número más pequeño que se puede expresar como el producto de dos números diferentes cuyas cifras están invertidas: 153 + 351 = 504 y 504^2 = 288 x 882

 

Puede ser expresado como la suma de todos los números enteros del 1 al 17. Esto quiere decir que es un número triangular (forma un triángulo): 153 = 1 + 2 + 3 + 4 +…+ 14 + 15 + 16 + 17

 

Pero también, si invertimos sus dígitos, obtenemos un número triangular (podemos decir que 153 es un número triangular invertible): 351 = 1 + 2 + 3 + 4 +…+ 23 + 24 + 25 + 26

 

Si sumamos los cubos del inverso de sus dígitos, obtenemos nuestro número: 3^3 + 5^3 + 1^3 = 153

 

Además, tanto él como el inverso de sus dígitos son números de Harshad o números de Niven, es decir, divisibles por la suma de sus dígitos: 153 / (1 + 5 + 3) = 17 y 351 / (3 + 5 + 1) = 39

 

Es un número vampírico (puede ser expresado como el producto de dos números formados por sus dígitos: 153 = 3 x 51

 

Si tomamos un múltiplo de 3 y sumamos el cubo de sus dígitos y repetimos este proceso varias veces, al final llegaremos al 153. Todo número menor de 10000 llega al 153 de esta manera en, como máximo, 13 ciclos: 1011 -> 1^3 + 0^3 + 1^3 + 1^3 = 3 -> 3^3 = 27 -> 2^3 + 7^3 = 351 -> 3^3 + 5^3 + 1^3 = 153

 

La sumas de las potencias 0, 1 y 2 de sus dígitos es igual al producto de ellos: 1^0 + 5^1 + 3^2 = 1 x 5 x 3

 

Si trabajamos con su inverso, vemos que es un número periódico, con una curiosidad al multiplicarlo (quitando los dos primeros ceros) por el número triangular que ocupa el 153 (es el decimoséptimo número triangular) y sus múltiplos:

 

1 / 153 = 0,0065359477124183 (período)

 

65359477124183 x 17 = 1111111111111111

65359477124183 x 34 = 2222222222222222

65359477124183 x 51 = 3333333333333333

65359477124183 x 68 = 4444444444444444

65359477124183 x 85 = 5555555555555555

65359477124183 x 102 = 6666666666666666

65359477124183 x 119 = 7777777777777777

65359477124183 x 136 = 8888888888888888

65359477124183 x 153 = 9999999999999999

 

• El número 7: aparte de las curiosidades de ciertos números, que nos sorprenden por sus resultados al trabajar con sus múltiplos, inversos y dígitos, existen otros números cuyo misterio sigue despertando gran interés por su simbología. Este es el caso del número 7, que, aunque no es más que un número, ha demostrado ser muy interesante.

 

Entre otras cosas, la semana tiene siete días (algunos creen que se refiere al lapso de tiempo que, en la creencia cristiana, tardó dios en crear la tierra), son sietes los continentes (según algunos, que consideran África, Antártida, Asia, Australia, Europa, América del Norte y América del Sur), los indús consideran siete chacras o puntos de energía en el cuerpo, son siete las maravillas del mundo, hay siete pecados capitales y siete calamidades, Dante describe siete infiernos en la Divina Comedia, los metafísicos hablan de siete niveles de conciencia, el arco iris tiene siete colores, son siete las notas musicales, las vidas de un gato son siete, siete son las profecías mayas, Shakespeare dividió en siete las edades del hombre (infancia, niñez, amante, soldado, adulto, edad avanzada y senilidad), siete es la suma de la trinidad divina y las virtudes humanas (la unión de lo divino y humano simboliza la totalidad, la perfección)...

 

Además, está la creencia de que es un número de buena suerte, cuya historia se remonta a la época griega.

 

• El número 11: al igual que ocurre con el número 7, el número 11 es un número cargado de simbolismo. Se consideraba uno de los números más poderosos, representaba el conocimiento secreto, aparece en gran parte de los escritos sagrados y la arquitectura religiosa sacra y pagana.

 

Para los cristianos es un número maldito, situado entre el 0 (perspectiva humana) y el 12 (perspectiva cósmica). Doce eran los apóstoles originales, que quedaron reducidos a 11 cuando Judas traicionó a Jesús. Además según San Agustín, es el blasón del pecado.

 

En ciencia, encontramos también curiosidades en torno a este número; la teoría de membranas dice que hay 11 dimensiones espacio-temporales, el abdomen de la mayoría de los insectos tiene once segmentos, la actividad solar aumenta y disminuye en ciclos cada 11 años, se cree que toda la masa en el agujero negro en el centro de nuestra galaxia gira en 11 minutos, un cohete debe viajar a 11km/s para poder escapar de la atmósfera terrestre, el Apolo 11 fue el primer cohete tripulado que pisó la Luna...

 

También existen diversas fechas, que envuelven al número 11, que han pasado a la historia por su significancia: el 11 de noviembre (mes 11) de 1918, a las 11 de la mañana, terminó la Primera Guerra Mundial; el 11 de septiembre de 1972 el mundo está presenciando el comienzo del terrorismo global (11 israelíes son asesinados por terroristas en los Juegos Olímpicos de Munich); el 11 de septiembre de 2001 se desplomaron las Torres Gemelas en un atentado terrorista (como curiosidades, el primer avión en hacer impacto fue el vuelo 11 de American Airlines, quedaban 111 días para terminar el año, era el día 254 del año y 2 + 5 + 4 = 11, las torres representaban un once…); el ataque terrorista de Madrid fue un día 11 (11 de marzo de 2004) y murieron 191 personas (cuyos dígitos suman 11), etc.

 

Otra creencia habla de la gran cantidad de gente que ve frecuentemente el número 11 en todas partes (relojes, matrículas, páginas de libros…). El número 11 y su par, 11:11, engloban un código sincromístico, relacionado para muchas personas con la comunicación de una inteligencia cósmica que busca abrir un portal en la conciencia y en la genética humana. Una de las personas en popularizar el 11:11 fue el mentalista israelí Uri Geller, quien declaró que desde pequeño veía el 11:11 en todas partes como una especie de mensaje cósmico. Para Geller el 11:11 es un detonador del despertar de la conciencia precodificado.